Задача:
Введём новую операцию «зачёркивание» — удаление из числа любой одной цифры так, чтобы оставшиеся в числе цифры соединились, образовав новое число, не начинающееся с 0 . Например, из числа 1023 одной такой операцией можно получить числа 123 , 103 и 102 . Никита применил не более двух операций зачёркивания к числу 484642485 и получил в результате число, делящееся на 36 . Сколько различных чисел мог получить Никита?
Ответ:
Чтобы число делилось на 36, оно должно делиться и на 4, и на 9.
- Чтобы число делилось на 4, последние две его цифры должны образовывать число, делящееся на 4.
- Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9.
Рассмотрим число: 484642485
Сначала найдем все двузначные числа из этого числа, которые делятся на 4: 48, 64, 24, 48, 84 и 85. Однако, 85 не делится на 4, поэтому исключим его из списка.
Теперь рассмотрим сумму цифр: 4 + 8 + 4 + 6 + 4 + 2 + 4 + 8 + 5 = 45. Так как 45 делится на 9, для образования числа, делящегося на 9, нам нужно либо не зачеркивать ни одной цифры, либо зачеркивать цифры, сумма которых делится на 9 (например, 4 и 5).
Начнем с последнего числа 5. Если мы зачеркнем его, нам нужно будет также зачеркнуть еще одну цифру, чтобы общая сумма оставшихся цифр была кратна 9. Мы можем зачеркнуть одну из цифр 4. Это дает нам 4 варианта (так как у нас 4 четверки). Каждая из этих комбинаций приводит к разным числам.
Теперь рассмотрим случаи, когда мы зачеркиваем только одну цифру. Если мы зачеркиваем одну из четверок, то у нас остается 3 варианта.
Таким образом, у нас 4 + 3 = 7 различных чисел.