Задача:
Столяр Кирилл может от любого деревянного многогранника отпилить тетраэдр (треугольную пирамидку) любым плоским сечением (на рисунке некоторые из возможных примеров). Кирилл взял деревянный куб и последовательно отпилил от него 3 тетраэдра. Сколько граней могло получиться у фигуры, оставшейся от куба? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Давайте рассмотрим каждое отпиливание отдельно и поймем, как изменяется количество граней.
- Первое отпиливание тетраэдра: Когда от куба отпиливают тетраэдр, одна грань куба полностью удаляется, а на её месте появляются три новые грани тетраэдра. Следовательно, общее количество граней увеличивается на 2 (6 граней куба — 1 удаленная грань + 3 новые грани = 8 граней).
- Второе отпиливание: В лучшем случае (если отпиливание происходит по одной из новых граней) 1 новая грань удаляется, а добавляются 2 новые грани. Таким образом, количество граней увеличивается на 1 и становится 9. В худшем случае (если отпиливание происходит по одной из оригинальных граней куба) 1 грань удаляется, но добавляются 3 новые, так что количество граней также увеличивается на 2.
- Третье отпиливание: Аналогично второму отпиливанию, количество граней может увеличиться на 1 или 2.
Исходя из вышеизложенного:
- После первого отпиливания: 8 граней
- После второго отпиливания: 9 или 10 граней
- После третьего отпиливания: 10, 11, 11 или 12 граней
Таким образом, возможные варианты для количества граней после 3 отпиливаний: 10, 11, 12.