Задача:
Окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке X . Прямая NX — общая касательная окружностей w1 и w2. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ . Найдите отношение длин отрезков YZ:NX.
Ответ:
Пусть угол YO1N равен α и угол ZO2N равен α (так как они равны). Таким образом, угол YO1X равен 90° — α и угол ZO2X равен 90° — α.
Теперь рассмотрим угол YNZ. Из условия задачи известно, что угол YNZ равен двум разам суммы углов YO1X и ZO2X. Таким образом:
Угол YNZ = 2(90° — α + 90° — α) = 360° — 4α.
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол YNZ + 2α = 180°. Подставляя выражение для угла YNZ, получаем:
360° — 4α + 2α = 180° 2α = -180° α = -90°.
Это противоречит реальности, так как угол между касательной и радиусом не может быть отрицательным. Таким образом, моя попытка решения не верна.
Извините за путаницу. Нужно взять другой подход к решению этой задачи.